☛ ** Distance d'un point à une droite

Énoncé

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ .

Soit  $d$  une droite de représentation paramétrique  $\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=3-3t\\ z=4-4t\end{array},t\in \mathbb{R}$ .

Soit  $\text{M}(-2;6;0)$  un point de l'espace.

1. Vérifier que $\text{M}$ n'appartient pas à $d$ .

2. On cherche à déterminer la distance entre le point $\text{M}$ et la droite $d$ .

  Soit  ${\text{H}}_t(x;y;z)$  un point de la droite   $d$   .

    a. Exprimer la distance  $\text{M}{\text{H}}_t$  en fonction de $t\in \mathbb{R}$ .
    b. On admet que la distance  $\text{M}{\text{H}}_t$  est minimale lorsque la quantité  $\text{M}{\text{H}}_t^2$  est minimale.
On note  $f(t)=\text{M}{\text{H}}_t^2$ , avec   $t\in \mathbb{R}$ . Justifier que, pour tout $t$ réel,  $f(t)=34t^2+4t+34$ .
    c. Donner la valeur de $t$ qui rend la quantité  $f(t)$  minimale puis en déduire la distance de $\text{M}$ à la droite $d$ .

Solution

1. On résout  $\{\begin{array}{l}-2=1+3t\\ 6=3-3t\\ 0=4-4t\end{array}$ .
On obtient le système  $\{\begin{array}{l}t=-1\\ t=-1\\ t=0\end{array}$  qui est incompatible, donc  $\text{M}\notin d$ .

2. a. On a  $\text{M}(-2;6;0)$  et  ${\text{H}}_t(1+3t;3-3t;4-4t)$  avec  $t\in \mathbb{R}$ .
Alors  $\overrightarrow{\text{M}{\text{H}}_t}\left(\begin{array}{c}3+3t\\ -3-3t\\ 4-4t\end{array}\right)$ ,  $t\in \mathbb{R}$ .
D'où  $\text{M}{\text{H}}_t=\sqrt{(3+3t{)}^2+(-3-3t{)}^2+(4-4t)}=\sqrt{34t^2+4t+34}$ .

    b. D'après ce qui précède, pour tout $t$ réel, $$ $f(t)=\text{M}{\text{H}}_t^2={\left(\sqrt{34t^2+4t+34}\right)}^2=34t^2+4t+34$ .

    c.  $f$  est une fonction du second degré, de coefficient dominant  $34>0$ , donc elle admet un minimum en  $t=-{\displaystyle \frac{4}{2\times 34}}=-{\displaystyle \frac{1}{17}}.$

D'où  $f(-{\displaystyle \frac{1}{17}})={\displaystyle \frac{576}{17}}$ .
La distance minimale est alors  $\sqrt{{\displaystyle \frac{576}{17}}}={\displaystyle \frac{24}{\sqrt{17}}}=\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{24}{17}}\times \sqrt{17}}}.$  

Remarques  

• La distance obtenue est la distance entre le point   $\text{M}$   et le projeté orthogonal du point $\text{M}$  sur la droite $d$ .

• On peut également déterminer les coordonnées de ce projeté en remplaçant la valeur de $t$ trouvée à la question 2.c. dans la représentation paramétrique de $d$ :  $({\displaystyle \frac{14}{17}};{\displaystyle \frac{54}{17}};{\displaystyle \frac{72}{17}})$ .