☛ ** Distance d'un point à une droite

Énoncé

L'espace est muni d'un repère orthonormé \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) .

Soit  \(d\)  une droite de représentation paramétrique  \(\begin{cases} x = 1+3t \\ y = 3-3t \\ z = 4-4t \\ \end{cases}, t\in\mathbb R\) .

Soit  \(\text M(-2~;~6~;~0)\)  un point de l'espace.

1. Vérifier que \(\text M\) n'appartient pas à \(d\) .

2. On cherche à déterminer la distance entre le point \(\text M\) et la droite \(d\) .

  Soit  \(\text H_t(x~;~y~;~z)\)  un point de la droite   \(d\)   .

    a. Exprimer la distance  \(\text M\text H_t\)  en fonction de \(t\in\mathbb R\) .
    b. On admet que la distance  \(\text M\text H_t\)  est minimale lorsque la quantité  \(\text M\text H_t^2\)  est minimale.
On note  \(f(t)=\text M\text H_t^2\) , avec   \(t\in\mathbb R\) . Justifier que, pour tout \(t\) réel,  \(f(t)=34t^2+4t+34\) .
    c. Donner la valeur de \(t\) qui rend la quantité  \(f(t)\)  minimale puis en déduire la distance de \(\text M\) à la droite \(d\) .

Solution

1. On résout  \(\begin{cases} -2 = 1+3t \\ 6 = 3-3t \\ 0 = 4-4t \\ \end{cases}\) .
On obtient le système  \(\begin{cases} t=-1 \\ t=-1 \\ t=0 \\ \end{cases}\)  qui est incompatible, donc  \(\text M\notin d\) .

2. a. On a  \(\text M(-2~;~6~;~0)\)  et  \(\text H_t(1+3t~;~3-3t~;~4-4t)\)  avec  \(t\in\mathbb R\) .
Alors  \(\overrightarrow{\text M\text H_t}\begin{pmatrix} 3+3t\\ -3-3t \\4-4t \\ \end{pmatrix}\) ,  \(t\in\mathbb R\) .
D'où  \(\text M\text H_t=\sqrt{(3+3t)^2+(-3-3t)^2+(4-4t)}=\sqrt{34t^2+4t+34}\) .

    b. D'après ce qui précède, pour tout \(t\) réel, `` \(f(t)=\text M\text H_t^2=\left(\sqrt{34t^2+4t+34}\right)^2=34t^2+4t+34\) .

    c.  \(f\)  est une fonction du second degré, de coefficient dominant  \(34>0\) , donc elle admet un minimum en  \(t=-\dfrac{4}{2\times 34}=-\dfrac{1}{17}.\)

D'où  \(f\left(-\dfrac{1}{17}\right)=\dfrac{576}{17}\) .
La distance minimale est alors  \(\sqrt{\dfrac{576}{17}}=\dfrac{24}{\sqrt{17}}=\boxed{\dfrac{24}{17}\times \sqrt{17}}.\)  

Remarques  

• La distance obtenue est la distance entre le point   \(\text M\)   et le projeté orthogonal du point \(\text M\)  sur la droite \(d\) .

• On peut également déterminer les coordonnées de ce projeté en remplaçant la valeur de \(t\) trouvée à la question 2.c. dans la représentation paramétrique de \(d\) :  \(\left(\dfrac{14}{17}~;~\dfrac{54}{17}~;~\dfrac{72}{17}\right)\) .