☛ ** Distance d'un point à une droite

Modifié par Clemni

Énoncé

L'espace est muni d'un repère orthonormé (O ;i,j,k) .

Soit  d  une droite de représentation paramétrique  {x=1+3ty=33tz=44t,tR .

Soit  M(2 ; 6 ; 0)  un point de l'espace.

1. Vérifier que M n'appartient pas à d .


2. On cherche à déterminer la distance entre le point M et la droite d .

  Soit  Ht(x ; y ; z)  un point de la droite   d   .

    a. Exprimer la distance  MHt  en fonction de tR .
    b. On admet que la distance  MHt  est minimale lorsque la quantité  MHt2  est minimale.
On note  f(t)=MHt2 , avec   tR . Justifier que, pour tout t réel,  f(t)=34t2+4t+34 .
    c. Donner la valeur de t qui rend la quantité  f(t)  minimale puis en déduire la distance de M à la droite d .

Solution

1. On résout  {2=1+3t6=33t0=44t .
On obtient le système  {t=1t=1t=0  qui est incompatible, donc  Md .

2. a. On a  M(2 ; 6 ; 0)  et  Ht(1+3t ; 33t ; 44t)  avec  tR .
Alors  MHt(3+3t33t44t) tR .
D'où  MHt=(3+3t)2+(33t)2+(44t)=34t2+4t+34 .

    b. D'après ce qui précède, pour tout t réel, f(t)=MHt2=(34t2+4t+34)2=34t2+4t+34 .

    c.  f  est une fonction du second degré, de coefficient dominant  34>0 , donc elle admet un minimum en  t=42×34=117.

D'où  f(117)=57617 .
La distance minimale est alors  57617=2417=2417×17.  

Remarques  

  • La distance obtenue est la distance entre le point   M   et le projeté orthogonal du point M  sur la droite d .

  • On peut également déterminer les coordonnées de ce projeté en remplaçant la valeur de t trouvée à la question 2.c. dans la représentation paramétrique de d (1417 ; 5417 ; 7217) .

Source : https://lesmanuelslibres.region-academique-idf.fr
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